2025 年 USAMO 的几何题的解答（一）

1. 题目

Let $ABC$ be a triangle. Points $D$, $E$, and $F$ lie on sides $BC$, $CA$, and $AB$, respectively, such that

$$\angle AFE=\angle BDF=\angle CED.$$

Let $O_A$, $O_B$, and $O_C$ be the circumcenters of triangles $AFE$, $BDF$, and $CED$, respectively. Let $M$, $N$, and $O$ be the circumcenters of triangles $ABC$, $DEF$, and $O_AO_BO_C$, respectively. Prove that $OM=ON$.

2. 翻译

在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$、$E$、$F$ 分别在边 $BC$、$CA$、$AB$ 上，且满足 $\angle AFE = \angle BDF = \angle CED$．设 $O_A$、$O_B$、$O_C$ 分别为 $\triangle AEF$、$\triangle BFD$、$\triangle CDE$ 的外心，$M$、$N$、$O$ 分别为 $\triangle ABC$、$\triangle DEF$、$\triangle O_AO_BO_C$ 的外心，求证：$OM=ON$．

3. 分析

首先，由密克定理可知 $\triangle AFE$、$\triangle BDF$、$\triangle CED$ 的外接圆交于一点，设为 $K$。

我们可以通过倒角，在图中找到大量等角：

可知 $\triangle ABC \sim \triangle EFD$，而且这是一个旋转位似，中心就是点 $K$。

由此可知，点 $M$ 和 $N$ 也是这一个旋转位似变换下的对应点：

此时我们再考察 $\triangle O_AO_BO_C$。注意到

$$\angle KO_AO_C = \frac{1}{2}\angle KO_AE = \angle KAE$$

于是我们又可以找到很多等角：

可知 $\triangle ABC \sim \triangle O_AO_BO_C$，这也是一个旋转位似，中心还是点 $K$。点 $M$ 和点 $O$ 是这一个旋转位似的对应点。

实际上，点 $K$ 是 $\triangle ABC$、$\triangle EFD$ 和 $\triangle O_AO_BO_C$ 的第二布洛卡点。

由旋转位似可知

$$\begin{aligned} \triangle O_A O_B O_C \sim \triangle ABC &\implies \triangle KOM \sim \triangle K O_A A \\ \triangle O_A O_B O_C \sim \triangle EFD &\implies \triangle KON \sim \triangle K O_A E \end{aligned}$$

由 $O_AA=O_AK=O_AE$ 可知 $OM = OK = ON$。

4. 解答

参考原作者Serena An的解答，我懒得打了……

5. 大模型测试

输入：

使用中文证明下面的几何题，不允许使用解析的方法。
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Let $ABC$ be a triangle. Points $D$, $E$, and $F$ lie on sides $BC$, $CA$, and $AB$, respectively, such that
\[
  \angle AFE=\angle BDF=\angle CED.
\]
Let $O_A$, $O_B$, and $O_C$ be the circumcenters of triangles $AFE$, $BDF$, and $CED$, respectively. Let $M$, $N$, and $O$ be the circumcenters of triangles $ABC$, $DEF$, and $O_AO_BO_C$, respectively. Prove that $OM=ON$.

结果：

• DeepSeek-v4-pro(thinking)：完美完成证明，甚至不需要开启Think Max模式。
• Qwen-3.6-max-preview(thinking)：整体框架正确，但中间一部分证明有误（伪造了一个错误的引理）。
• GLM-5-Turbo(thinking)：纯粹在瞎掰。
• GLM-5(thinking)：思考中终止会话（截至停止思路完全不对）。
• Kimi-2.6(thinking)：前面的思路正确，最后一步拉完了。
• GLM-5.1(thinking)(max_toekns=128K)（无问芯穹）：纯粹在瞎掰。
• minimax-m2.7(thinking)(max_tokens=4K)（无问芯穹）：思考中终止会话，还没找到思路。
• GLM-5.1(thinking)：思考中终止会话，不过实际上已经证出来了。

总体比较：

DeepSeek > 千问 > Kimi ≈ GLM

最终的结果还是比较符合我的刻板印象的……

又回去看了一下DeepSeek-V4的论文，确实和官方在HMMT和IMOAnswerBench测试集上的结果相符：

测试	K2.6 Thinking	GLM-5.1 Thinking	DS-V4-Pro High	DS-V4-Pro Max
HMMT 2026 Feb	92.7	89.4	94.0	95.2
IMOAnswerBench	86.0	83.8	88.0	89.8

以及文中吐槽的那句：

We have left some entries blank for K2.6 and GLM-5.1, as their APIs were too busy to return responses to our queries.

嗯……确有体会……